balok beton - Metode Elemen Hingga ( Struktur Beam )

Struktur Beam

Beam adalah batang lurus ditumpu di dua atau lebih titik, mendapatkan pembebanan tunggal, merata maupun beban kombinasi (termasuk beban momen) dimana defleksi yang terjadi terdiri atas defleksi linier berarah tegak lurus sumbu aksial dan puntiran. Struktur beam lurus serba sama (uniform) dapat dilihat pada gambar 2.1.

placeholder2 - Metode Elemen Hingga ( Struktur Beam )

Pada batang dimaksud, sumbu longitudinal terletak pada sumbu x sedangkan sumbu transversal adalah sumbu y. Batang memiliki konstanta momen inersia I, modulus elastisitas E dan panjang L. Batang dianggap memiliki 2 derajat kebebasan pada setiap titik nodal yaitu defleksi transversal v akibat gaya transversal Y dan slope (sudut rotasi) θ yang merupakan turunan v terhadap x (∂v/∂ x ) akibat momen bending M. Tidak terjadi pergeseran pada arah x.

Berdasarkan analisis statika struktur, defleksi yang terjadi pada beam untuk daerah tanpa pembebanan dinyatakan sebagai :

placeholder2 - Metode Elemen Hingga ( Struktur Beam )

yang menghasilkan penyelesaian :

placeholder2 - Metode Elemen Hingga ( Struktur Beam )

Pada kondisi batas berlaku :

placeholder2 - Metode Elemen Hingga ( Struktur Beam )

Dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut :

placeholder2 - Metode Elemen Hingga ( Struktur Beam )

atau :

placeholder2 - Metode Elemen Hingga ( Struktur Beam )

Jika nilai matriks {a} pada persamaan 18) dikembalikan pada persamaan 17) maka akan didapat :

placeholder2 - Metode Elemen Hingga ( Struktur Beam )

Dimana :

placeholder2 - Metode Elemen Hingga ( Struktur Beam )

Untuk menentukan matriks konstanta (matriks stiffness), diketahui bahwa dari Teorema Castigliano untuk beam berlaku persamaan :

placeholder2 - Metode Elemen Hingga ( Struktur Beam )

Maka dengan mengikuti prosedur sebagaimana pada struktur truss akan diperoleh persamaan berikut :

placeholder2 - Metode Elemen Hingga ( Struktur Beam )

Catatan :

1. Perlu diketahui bahwa dalam kondisi tanpa tumpuan (seperti pada gambar 2.1.) beam harus berada dalam keseimbangan dibawah 4 gaya nodal dan 4 defleksi.
Jadi :

a. ΣF = 0 → Y1 = -Y2 dapat dilihat pada matriks [K] bahwa baris 1 = – baris 3

b. ΣM terhadap salah satu ujung harus sama dengan nol.

2. Karena pada matriks [K] baris 1 = – baris 3 maka matriks [K] singular, artinya [K]-1 tidak bernilai (tidak eksis), jadi tidak ada penyelesaian. Secara fisik hal ini tidak benar karena tidak pernah terjadi beam tanpa tumpuan. Maka dapat dipastikan bahwa ada setidaknya 1 tumpuan pada ujung-ujung struktur beam. Contoh : Jika ujung 1 ditumpu dengan tumpuan jepit, maka v1 = θ1 = 0 sehingga:

placeholder2 - Metode Elemen Hingga ( Struktur Beam )

Beam Dengan Beban Merata

Pada penjelasan sebelumnya, pembebanan terpusat pada titik-titik nodal. Pada kondisi struktur yang sebenarnya, pembebanan tidak hanya merupakan beban-beban terpusat namun terdistribusi di seluruh batang. Dalam hal ini beban yang terdistribusi ditransformasikan menjadi beban terpusat sehingga dapat diaplikasikan pada titik nodal.
Salah satu metode yang digunakan untuk keperluan tersebut adalah Metode Beban – Kerja Ekuivalen. Pada metode ini kerja yang dihasilkan oleh beban nodal yang tidak diketahui dibuat sama dengan kerja yang dihasilkan oleh beban terdistribusi. Metode ini sangat mudah dilakukan khususnya jika beban terdistribusi dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan matematis.

Umpamakan suatu elemen beam, kerja yang dilakukan oleh beban nodal tapi tidak diketahui nilainya dinyatakan dalam bentuk :

placeholder2 - Metode Elemen Hingga ( Struktur Beam )

Di sisi lain, kerja yang dilakukan oleh beban terdistribusi dapat diperoleh dengan cara :

placeholder2 - Metode Elemen Hingga ( Struktur Beam )

Dimana fungsi defleksi v (x) dinyatakan dalam persamaan 19) dengan bentuk matriks :

placeholder2 - Metode Elemen Hingga ( Struktur Beam )

Persamaan 21) disamakan dengan persamaan 22) menjadi :

placeholder2 - Metode Elemen Hingga ( Struktur Beam )

Persamaan 24) menyatakan bahwa beban ekuivalen kerja yang bersesuaian dengan derajat kebebasannya diperoleh dengan mengintegrasikan perkalian fungsi beban terdistribusi dengan fungsi bentuknya. Definisi ini dapat digeneralisasi untuk tipe-tipe elemen lainnya seperti elemen plate dan shell. Karena beban yang ditemukan diperoleh secara konsisten sesuai fungsi bentuk yang bersesuaian maka beban-beban tersebut dinamakan Beban-beban Konsisten.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *