writing 104091 640 - Diferensial (Turunan) Fungsi Trigonometri Beserta Contohnya

A. Turunan Trigonometri

Rumus turunan dari fungsi trigonometri sin (x) , cos (x) , tan (x) , cot (x) , sec (x) dan csc (x) , dalam kalkulus, disajikan bersama beberapa contoh fungsi trigonometri.

1. Turunan dari Sin x.

Turunan dari f (x) = sin x adalah :

f ‘(x) = cos x

 

2. Turunan dari cos x.

Turunan dari f (x) = cos x adalah :

f ‘(x) = – sin x

 

3.  Turunan tan x.

Turunan dari f (x) = tan x adalah :

 f ‘(x) = Sec 2x

 

4. Turunan cot x.

Turunan dari f (x) = cot x adalah :

f ‘(x) = – csc 2 x

 

5. Turunan dari Sec x.

Turunan dari f (x) = sec x adalah :

 f ‘(x) = sec x tan x

 

6. Turunan dari csc x.

Turunan dari f (x) = csc x adalah :

f ‘(x) = – csc x cot x

 

Contoh 1: Temukan turunan pertama dari f (x) = x sin x

Solusi untuk Contoh 1:

Misalkan g (x) = x dan h (x) = sin x, fungsi f dapat dianggap sebagai hasil dari fungsi g dan h: f (x) = g (x) h (x). Oleh karena itu, kita menggunakan aturan produk, f ‘(x) = g (x) h’ (x) + h (x) g ‘(x), untuk membedakan fungsi f sebagai berikut

f ‘(x) = x cos x + sin x * 1 = x cos x + sin x

 

Contoh 2: Temukan turunan pertama dari f (x) = tan x + Sec x

Solusi untuk Contoh 2:

Misalkan g (x) = tan x dan h (x) = sec x, fungsi f dapat dianggap sebagai jumlah fungsi g dan h: f (x) = g (x) + h (x). Oleh karena itu, kita menggunakan aturan jumlah, f ‘(x) = g’ (x) + h ‘(x), untuk membedakan fungsi f sebagai berikut

f ‘(x) = sec 2 x + Sec  x tan x = Sec x ( Sec x + tan x)

 

Contoh 3: Temukan turunan pertama dari f (x) = sin x / [1 + cos x]

Solusi untuk Contoh 3:

Misalkan g (x) = sin x dan h (x) = 1 + cos x, fungsi f dapat dianggap sebagai hasil dari fungsi g dan h: f (x) = g (x) / h (x). Oleh karena itu, kita menggunakan aturan , f ‘(x) = [h (x) g’ (x) – g (x) h ‘(x)] / h (x) 2 , untuk membedakan fungsi f sebagai berikut

g ‘(x) = cos x

h ‘(x) = – sin x

f ‘(x) = [h (x) g’ (x) – g (x) h ‘(x)] / h (x) 2

= [(1 + cos x) (cos x) – (sin x) (- sin x)] / (1 + cos x) 2

= [cos x + cos 2 x + sin 2 x] / (1 + cos x) 2

Gunakan identitas trigonometri cos 2 x + sin 2 x = 1 untuk mempermudah persamaan di atas

f ‘(x) = [cos x + 1] / (1 + cos x) 2 = 1 / [cos x + 1]

 

B. Perluasan Rumus Trigonometri

Jika u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x dengan u’ adalah turunan u terhadap x, maka :
1.  f(x) = sin u  →  f ‘(x) = cos u . u’
2.  f(x) = cos u  →  f ‘(x) = −sin u . u’
3.  f(x) = tan u  →  f ‘(x) = sec2u . u’
4.  f(x) = cot u  →  f ‘(x) = −csc2 u . u’
5.  f(x) = sec u  →  f ‘(x) = sec u tan u . u’
6.  f(x) = csc u  →  f ‘(x) = −csc u cot u . u’

Contoh Soal Diferensial Fungsi Trigonometri dan Penyelesaiannya

Contoh 1

Tentukan turunan dari y = sin 6x !
Penyelesaian :
Misalkan :
u = 6x   ⇒   u’ = 6

y’ = cos u . u’
y’ = cos 6x . 6
y’ = 6cos 6x

Contoh 2

Tentukan turunan dari y = cos x2

Penyelesaian :
Misalkan :
u = x2   ⇒   u’ = 2x

y’ = −sin u . u’
y’ = −sin x2  . 2x
y’ = −2x sin x2

Contoh 3
Tentukan turunan dari y = tan (3x+2)
Penyelesaian :
Misalkan :
u = 3x + 2   ⇒   u’ = 3

y’ = sec2u . u’
y’ = sec2(3x+2) . 3
y’ = 3sec2(3x+2)

Contoh 4
Tentukan turunan dari y = sec 6x

Penyelesaian :
Misalkan :
u = 6x   ⇒   u’ = 6

y’ = sec u tan u . u’
y’ = sec 6x tan 6x . 6
y’ = 6sec 6x tan 6x

 

C. Turunan y = [u(x)]n

Misalkan y = [u(x)]n dengan u(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x. Turunan y terhadap x dapat dinyatakan sebagai berikut :

y′=n[u(x)]n1.u′(x)

Contoh 5
Tentukan turunan dari y = cos56x
Penyelesaian :
y = [cos 6x]5

Misalkan :
u(x) = cos 6x   ⇒   u'(x) = −6sin 6x
n = 5

y’ = n[u(x)]n-1. u'(x)
y’ = 5[cos 6x]5-1. −6sin 6x
y’ = −30 cos46x . sin 6x

Contoh 6
Tentukan turunan dari y = sin6(3x−1)
Penyelesaian :
y = [sin (3x−1)]6

Misalkan :
u(x) = sin (3x−1)   ⇒    u'(x) = 3cos (3x−1)
n = 6

y’ = n[u(x)]n-1. u'(x)
y’ = 6[sin (3x−1)]6-1 . 3cos (3x−1)
y’ = 18 sin5(3x−1) cos (3x−1)

Catatan
Hasil akhir masih bisa diubah-ubah bentuknya menyesuaikan jawaban yang diminta dari soal, yaitu dengan menggunakan sifat-sifat atau identitas dari trigonometri.

Latihan Soal Turunan Fungsi Trigonometri

Latihan 1

Tentukan turunan dari y = sin x2

Jawab :
y’ = cos x2 . 2x

y  ‘ = 2x cos x2

Latihan 2

Tentukan turunan dari y = cos (3x+1)
Jawab :
y’ = −sin (3x+1) . 3
y’ = −3sin (3x+1)

Latihan 3

Tentukan turunan dari f(x) = tan 12x
Jawab :
f ‘(x) = sec212x . 12
f ‘(x) = 12sec212x

Latihan 4

Tentukan turunan y = sin (x2+3x−1)
Jawab :
y’ = cos (x2+3x−1) . (2x+3)
y’ = (2x+3) cos(x2+3x−1)

Latihan 5

Tentukan turunan dari y = sec 2x
Jawab :
y’ = sec 2x tan 2x . 2
y’ = 2sec 2x tan 2x

Latihan 6

Tentukan turunan dari y = cos (2x+1)4
Jawab :
y’ = −sin (2x+1)4 . 4(2x+1)4-1 . 2
y’ = −8(2x+1) sin(2x+1)4

Latihan 7

Tentukan turunan dari y = tan53x
Jawab :
y’ = 5tan43x . sec23x . 3
y’ = 15 tan43x sec23x

Latihan 8

Tentukan turunan dari y = cos4(5x+2)
Jawab :
y’ = 4cos3(5x+2) . −sin (5x+2) . 5
y’ = −20 cos3(5x+2) sin(5x+2)

Latihan 9

Tentukan turunan y = sin6(x2+3x)
Jawab :
y’ = 6 sin5(x2+3x) . cos(x2+3x). (2x + 3)
y’ = 6(2x + 3) sin5(x2+3x) . cos(x2+3x)

Latihan 10

Tentukan f ‘(x) dari :

a.  f(x) = 3sin 2x + 4cos x
Jawab :
f ‘(x) = 3cos 2x . 2 + 4 . −sin x
f ‘(x) = 6cos 2x − 4sin x

b.f(x) = tan 2x − csc x
Jawab :
f ‘(x) = sec22x . 2 − (−csc x ctg x)
f ‘(x) = 2sec22x + csc x ctg

c. f(x) = sec 4x + tan (x+1)
Jawab :
f ‘(x) = sec 4x tan 4x . 4 + sec2(x+1) . 1
f ‘(x) = 4sec 4x tan 4x + sec2(x + 1)

Latihan 11

Tentukan turunan dari y = x2cos 2x
Jawab :
Misalkan :
u = x2 ⇒  u’ = 2x
v = cos 2x ⇒ v’ = −2 sin 2x

y’ = u’.v + u.v’
y’ = 2x . cos 2x + x. −2 sin 2x
y’ = 2x cos 2x − 2xsin 2x
y’ = 2x(cos 2x − x sin 2x)

Latihan 12

Tentukan turunan dari f(x) = (1 + sin2x)7

 Jawab :
u(x) = (1 + sin2x)  ⇒  u'(x) = 2sin x cos x
n = 7

f ‘(x) = 7(1 + sin2x)7-1 . 2sin x cos x
f ‘(x) = 7 (1 + sin2x). sin 2x
f ‘(x) = 7sin 2x  (1 + sin2x)6

Summary
Diferensial Fungsi Trigonometri Beserta Contohnya
Article Name
Diferensial Fungsi Trigonometri Beserta Contohnya
Description
Rumus turunan dari fungsi trigonometri sin (x) , cos (x) , tan (x) , cot (x) , sec (x) dan csc (x) , dalam kalkulus, disajikan bersama beberapa contoh fungsi trigonometri.
Author
Publisher Name
Guru Sipil
Publisher Logo
placeholder2 - Diferensial (Turunan) Fungsi Trigonometri Beserta Contohnya

Leave a Reply to Anonymous Cancel reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *