writing 104091 640 - Diferensial (Turunan) Fungsi Trigonometri Beserta Contohnya

A. Turunan Trigonometri

Rumus turunan dari fungsi trigonometri sin (x) , cos (x) , tan (x) , cot (x) , sec (x) dan csc (x) , dalam kalkulus, disajikan bersama beberapa contoh fungsi trigonometri.

1. Turunan dari Sin x.

Turunan dari f (x) = sin x adalah :

f ‘(x) = cos x

 

2. Turunan dari cos x.

Turunan dari f (x) = cos x adalah :

f ‘(x) = – sin x

 

3.  Turunan tan x.

Turunan dari f (x) = tan x adalah :

 f ‘(x) = Sec 2x

 

4. Turunan cot x.

Turunan dari f (x) = cot x adalah :

f ‘(x) = – csc 2 x

 

5. Turunan dari Sec x.

Turunan dari f (x) = sec x adalah :

 f ‘(x) = sec x tan x

 

6. Turunan dari csc x.

Turunan dari f (x) = csc x adalah :

f ‘(x) = – csc x cot x

 

Contoh 1: Temukan turunan pertama dari f (x) = x sin x

Solusi untuk Contoh 1:

Misalkan g (x) = x dan h (x) = sin x, fungsi f dapat dianggap sebagai hasil dari fungsi g dan h: f (x) = g (x) h (x). Oleh karena itu, kita menggunakan aturan produk, f ‘(x) = g (x) h’ (x) + h (x) g ‘(x), untuk membedakan fungsi f sebagai berikut

f ‘(x) = x cos x + sin x * 1 = x cos x + sin x

 

Contoh 2: Temukan turunan pertama dari f (x) = tan x + Sec x

Solusi untuk Contoh 2:

Misalkan g (x) = tan x dan h (x) = sec x, fungsi f dapat dianggap sebagai jumlah fungsi g dan h: f (x) = g (x) + h (x). Oleh karena itu, kita menggunakan aturan jumlah, f ‘(x) = g’ (x) + h ‘(x), untuk membedakan fungsi f sebagai berikut

f ‘(x) = sec 2 x + Sec  x tan x = Sec x ( Sec x + tan x)

 

Contoh 3: Temukan turunan pertama dari f (x) = sin x / [1 + cos x]

Solusi untuk Contoh 3:

Misalkan g (x) = sin x dan h (x) = 1 + cos x, fungsi f dapat dianggap sebagai hasil dari fungsi g dan h: f (x) = g (x) / h (x). Oleh karena itu, kita menggunakan aturan , f ‘(x) = [h (x) g’ (x) – g (x) h ‘(x)] / h (x) 2 , untuk membedakan fungsi f sebagai berikut

g ‘(x) = cos x

h ‘(x) = – sin x

f ‘(x) = [h (x) g’ (x) – g (x) h ‘(x)] / h (x) 2

= [(1 + cos x) (cos x) – (sin x) (- sin x)] / (1 + cos x) 2

= [cos x + cos 2 x + sin 2 x] / (1 + cos x) 2

Gunakan identitas trigonometri cos 2 x + sin 2 x = 1 untuk mempermudah persamaan di atas

f ‘(x) = [cos x + 1] / (1 + cos x) 2 = 1 / [cos x + 1]

 

B. Perluasan Rumus Trigonometri

Jika u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x dengan u’ adalah turunan u terhadap x, maka :
1.  f(x) = sin u  →  f ‘(x) = cos u . u’
2.  f(x) = cos u  →  f ‘(x) = −sin u . u’
3.  f(x) = tan u  →  f ‘(x) = sec2u . u’
4.  f(x) = cot u  →  f ‘(x) = −csc2 u . u’
5.  f(x) = sec u  →  f ‘(x) = sec u tan u . u’
6.  f(x) = csc u  →  f ‘(x) = −csc u cot u . u’

Contoh Soal Diferensial Fungsi Trigonometri dan Penyelesaiannya

Contoh 1

Tentukan turunan dari y = sin 6x !
Penyelesaian :
Misalkan :
u = 6x   ⇒   u’ = 6

y’ = cos u . u’
y’ = cos 6x . 6
y’ = 6cos 6x

Contoh 2

Tentukan turunan dari y = cos x2

Penyelesaian :
Misalkan :
u = x2   ⇒   u’ = 2x

y’ = −sin u . u’
y’ = −sin x2  . 2x
y’ = −2x sin x2

Contoh 3
Tentukan turunan dari y = tan (3x+2)
Penyelesaian :
Misalkan :
u = 3x + 2   ⇒   u’ = 3

y’ = sec2u . u’
y’ = sec2(3x+2) . 3
y’ = 3sec2(3x+2)

Contoh 4
Tentukan turunan dari y = sec 6x

Penyelesaian :
Misalkan :
u = 6x   ⇒   u’ = 6

y’ = sec u tan u . u’
y’ = sec 6x tan 6x . 6
y’ = 6sec 6x tan 6x

 

C. Turunan y = [u(x)]n

Misalkan y = [u(x)]n dengan u(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x. Turunan y terhadap x dapat dinyatakan sebagai berikut :

y′=n[u(x)]n1.u′(x)

Contoh 5
Tentukan turunan dari y = cos56x
Penyelesaian :
y = [cos 6x]5

Misalkan :
u(x) = cos 6x   ⇒   u'(x) = −6sin 6x
n = 5

y’ = n[u(x)]n-1. u'(x)
y’ = 5[cos 6x]5-1. −6sin 6x
y’ = −30 cos46x . sin 6x

Contoh 6
Tentukan turunan dari y = sin6(3x−1)
Penyelesaian :
y = [sin (3x−1)]6

Misalkan :
u(x) = sin (3x−1)   ⇒    u'(x) = 3cos (3x−1)
n = 6

y’ = n[u(x)]n-1. u'(x)
y’ = 6[sin (3x−1)]6-1 . 3cos (3x−1)
y’ = 18 sin5(3x−1) cos (3x−1)

Catatan
Hasil akhir masih bisa diubah-ubah bentuknya menyesuaikan jawaban yang diminta dari soal, yaitu dengan menggunakan sifat-sifat atau identitas dari trigonometri.

Latihan Soal Turunan Fungsi Trigonometri

Latihan 1

Tentukan turunan dari y = sin x2

Jawab :
y’ = cos x2 . 2x

y  ‘ = 2x cos x2

Latihan 2

Tentukan turunan dari y = cos (3x+1)
Jawab :
y’ = −sin (3x+1) . 3
y’ = −3sin (3x+1)

Latihan 3

Tentukan turunan dari f(x) = tan 12x
Jawab :
f ‘(x) = sec212x . 12
f ‘(x) = 12sec212x

Latihan 4

Tentukan turunan y = sin (x2+3x−1)
Jawab :
y’ = cos (x2+3x−1) . (2x+3)
y’ = (2x+3) cos(x2+3x−1)

Latihan 5

Tentukan turunan dari y = sec 2x
Jawab :
y’ = sec 2x tan 2x . 2
y’ = 2sec 2x tan 2x

Latihan 6

Tentukan turunan dari y = cos (2x+1)4
Jawab :
y’ = −sin (2x+1)4 . 4(2x+1)4-1 . 2
y’ = −8(2x+1) sin(2x+1)4

Latihan 7

Tentukan turunan dari y = tan53x
Jawab :
y’ = 5tan43x . sec23x . 3
y’ = 15 tan43x sec23x

Latihan 8

Tentukan turunan dari y = cos4(5x+2)
Jawab :
y’ = 4cos3(5x+2) . −sin (5x+2) . 5
y’ = −20 cos3(5x+2) sin(5x+2)

Latihan 9

Tentukan turunan y = sin6(x2+3x)
Jawab :
y’ = 6 sin5(x2+3x) . cos(x2+3x). (2x + 3)
y’ = 6(2x + 3) sin5(x2+3x) . cos(x2+3x)

Latihan 10

Tentukan f ‘(x) dari :

a.  f(x) = 3sin 2x + 4cos x
Jawab :
f ‘(x) = 3cos 2x . 2 + 4 . −sin x
f ‘(x) = 6cos 2x − 4sin x

b.f(x) = tan 2x − csc x
Jawab :
f ‘(x) = sec22x . 2 − (−csc x ctg x)
f ‘(x) = 2sec22x + csc x ctg

c. f(x) = sec 4x + tan (x+1)
Jawab :
f ‘(x) = sec 4x tan 4x . 4 + sec2(x+1) . 1
f ‘(x) = 4sec 4x tan 4x + sec2(x + 1)

Latihan 11

Tentukan turunan dari y = x2cos 2x
Jawab :
Misalkan :
u = x2 ⇒  u’ = 2x
v = cos 2x ⇒ v’ = −2 sin 2x

y’ = u’.v + u.v’
y’ = 2x . cos 2x + x. −2 sin 2x
y’ = 2x cos 2x − 2xsin 2x
y’ = 2x(cos 2x − x sin 2x)

Latihan 12

Tentukan turunan dari f(x) = (1 + sin2x)7

 Jawab :
u(x) = (1 + sin2x)  ⇒  u'(x) = 2sin x cos x
n = 7

f ‘(x) = 7(1 + sin2x)7-1 . 2sin x cos x
f ‘(x) = 7 (1 + sin2x). sin 2x
f ‘(x) = 7sin 2x  (1 + sin2x)6

Summary
Diferensial Fungsi Trigonometri Beserta Contohnya
Article Name
Diferensial Fungsi Trigonometri Beserta Contohnya
Description
Rumus turunan dari fungsi trigonometri sin (x) , cos (x) , tan (x) , cot (x) , sec (x) dan csc (x) , dalam kalkulus, disajikan bersama beberapa contoh fungsi trigonometri.
Author
Publisher Name
Guru Sipil
Publisher Logo
placeholder2 - Diferensial (Turunan) Fungsi Trigonometri Beserta Contohnya

15 responses to “Diferensial (Turunan) Fungsi Trigonometri Beserta Contohnya”

  1. I have checked your website and i’ve found some duplicate
    content, that’s why you don’t rank high in google, but there is a tool that can help you to create 100% unique articles,
    search for: SSundee advices unlimited content for
    your blog

  2. 368449 648392Ill correct away grasp your rss feed as I cant in discovering your e-mail subscription hyperlink or e-newsletter service. Do youve any? Please let me comprehend so that I might subscribe. Thanks. 306108

  3. 608218 910278Wow! This could be one certain with the most valuable blogs Weve ever arrive across on this topic. Basically Exceptional. Im also an expert in this subject therefore I can understand your effort. 772735

  4. I often visit your website and have noticed that you don’t
    update it often. More frequent updates will give your website higher rank
    & authority in google. I know that writing posts
    takes a lot of time, but you can always help
    yourself with miftolo’s tools which will shorten the time of
    creating an article to a couple of seconds.

  5. 961140 142189When do you believe this Real Estate market will go back in a positive direction? Or is it still too early to tell? We are seeing a great deal of housing foreclosures in Altamonte Springs Florida. What about you? Would love to get your feedback on this. 395499

  6. 873286 472858Its like you read my mind! You appear to know a lot about this, like you wrote the book in it or something. I think which you could do with a few pics to drive the message home a bit, but other than that, this is amazing blog. A terrific read. Ill undoubtedly be back. 820485

  7. 781879 200244Fantastic post nevertheless , I was wanting to know in case you could write a litte a lot more on this subject? Id be very thankful in case you could elaborate a little bit further. Bless you! 94301

  8. 589073 822576Youll locate some fascinating points in time in this post but I do not know if I see all of them center to heart. Theres some validity but I will take hold opinion until I appear into it further. Amazing post , thanks and we want significantly a lot more! Added to FeedBurner too 677294

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *